Разработка математической модели симпатрического видообразования и ее идентификация методами оптимального управления.
Букина А.В.

1. Постановка задачи.
В целях изучения эволюционной истории существующих организмов и процессов формирования современного биоразнообразия исследуются механизмы видообразования и генетической диверсификации, моделируются эволюционные процессы. Одной из версий модели симпатрического видообразования является модель, построенная на основе методов адаптивной динамики [1,2]. Данное видообразование представляет собой процесс морфологической и последующей генетической изоляции субпопуляций при имеющемся перемешивании особей в однородной среде. Причиной такого подразделения однородной группы является конкуренция за ресурсы среды обитания, при этом возможность потребления конкретной фракции ресурса определяется совокупными характеристиками организма (фенотипом). Конкуренция в итоге приводит к диверсификации организмов по различным ресурсным (экологическим) нишам.
Проблема изучения симпатрического видообразования с помощью методов математического моделирования заключается в следующих двух аспектах: 1) осуществление настройки математической модели в соответствии с имеющейся реальной информацией; 2) управление полученной моделью. И в том, и в другом случае содержательная постановка задачи может интерпретироваться в виде соответствующей задачи оптимального управления системой интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Указанная проблема является предметом рассмотрения в данной работе.
В рассматриваемой модели каждая особь характеризуется возрастом a  и наследственным генетическим признаком s, (например, размером тела во взрослом состоянии), который устанавливает  соответствующий признак особи d в любом возрасте: 
. Последний признак определяет используемый ресурс, как, к примеру, размер тела определяет спектр доступной пищи. Динамика популяции описывается уравнением:

где  – число особей популяции с генетическим признаком s, имеющих возраст a в момент времени t. Возможные значения генетического признака находятся в интервале , возраста – в интервале , значения t принадлежат временному интервалу . При этом предполагается, что начальное распределение численности особей популяции известно и определено условием , распределение только что родившихся членов популяции задается уравнением , где – границы детородного возраста.  Особи рождаются с интенсивностью  r и умирают с интенсивностью, определяемой конкуренцией и емкостью среды. - емкость среды (распределение ресурсов), где  - максимально возможное количество всех особей (ресурсов),  - наиболее распространенный признак (ресурс). - функция конкуренции между особями с признаками  и . В свою очередь, параметры  и  играют роль управляющих параметров и, с содержательной точки зрения, означают, соответственно, меру рассеяния величин признака (ресурсов) и интенсивность конкуренции. Целью управления является нахождение таких параметров  и  (констант или функций по t и d), при которых в фиксированный момент времени t1 численность особей популяции максимально близка к заданному распределению . С формальной точки зрения, выбор параметров  и  осуществляется так, чтобы минимизировать функционал
.
Одним из вариантов интерпретации поставленной задачи выступает следующая задача оптимального управления. Минимизируется функционал

                     (1)
на решениях гиперболической системы уравнений вида
                            (2)
при допустимых управлениях из множества
.                                    (3)
Здесь . Функции , , вектор-функции ,  непрерывны по совокупности своих переменных и имеют непрерывные производные по переменным x, y. 

2. Имеющийся научный задел.
Ранее для задачи оптимального управления интегро-дифференциальной системой уравнений, которая является интерпретацией рассматриваемой модели  при отсутствии  независимой переменной a, были получены необходимые условия оптимальности в формах принципа максимума Понтрягина, линеаризованного и вариационного принципов максимума [3,4].

3. Основные этапы и ожидаемые результаты.

с 01 ноября 2006 г.
по 28 февраля 2007 г.	с 01 марта 2007 г.
по 31 октября 2007 г.	
Получение условий оптимальности в формах принципа максимума Понтрягина и вариационного принципа максимума для задачи (1)-(3)	Разработка итерационных методов на основе условий оптимальности и проведение численного эксперимента	

Литература.
1. Dieckmann U., Doebeli M. On the origin of species by sympatric speciation // Nature.- 1999, № 400. -  pp. 354-357.
2. Семовский С.В., Букин Ю.С., Щербаков Д.Ю. Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция // Электронный журнал «Исследовано в России».-2002, №125. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/125.pdf.
    3.  Букина А.В. К исследованию задачи оптимального управления интегро- дифференциальной моделью симпатрического видообразования // Материалы VIII школы-семинара молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии»: Изд-во Иркут. ун-та, 2006. – . 34-37.
4. Терлецкий В.А., Букина А.В. Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления интегро-дифференциальной системой // Вестник Бурятского университета. Серия 13: Математика и информатика. – Улан-Удэ: Изд-во Бурят. ун-та, 2006.